اَلسَّلاَمُ عَلَيْكُمْ وَرَحْمَةُ اللهِ وَبَرَكَاتُه
Menyusun Persamaan Kuadrat Jika Diketahui Akar-akarnya
Misalnya, diketahui akar-akar persamaan kuadrat adalah x1 dan x2. Untuk mendapatkan persamaan kuadratnya, kamu bisa substitusi akar-akar tersebut ke persamaan berikut:
Kenapa sih harus disubstitusi ke persamaan itu? Kamu masih ingat nggak, kalau ingin mendapatkan akar-akar dari suatu persamaan kuadrat, salah satu caranya adalah dengan memfaktorkan persamaan kuadrat tersebut. Nah, bentuk persamaan (x - x1)(x - x2) = 0 adalah hasil dari pemfaktoran persamaan kuadrat. Kalau kita lakukan sedikit operasi aljabar, kita kali silang persamaan itu, maka akan didapat suatu persamaan kuadrat.
Oke, supaya lebih paham, perhatikan contoh soal di bawah ini, yuk!
Contoh soal 1
Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah 3 dan -7.
Penyelesaian:
Diketahui akar-akar persamaan kuadrat adalah 3 dan -7. Berarti, kamu bisa tulis x1 = 3 dan x2 = -7. Kemudian, kedua akar tersebut bisa kamu substitusikan ke persamaan (x - x1)(x - x2) = 0, sehingga penyelesaiannya menjadi sebagai berikut:
(x - 3)(x - (-7)) = 0
(x - 3)(x + 7) = 0
x2 + 7x - 3x - 21 = 0
x2 + 4x - 21 = 0
Jadiii, persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 dan -7 adalah x2 + 4x - 21 = 0.
Gimana gengs, mudah bukan caranya? Cukup dengan mensubstitusi nilai akar-akarnya dan sedikit melakukan operasi aljabar, kamu sudah bisa mendapatkan persamaan kuadratnya. Yuk, kita lanjut ke metode kedua, ya!
Menyusun Persamaan Kuadrat Jika Diketahui Jumlah dan Hasil Kali Akar-akarnya
Misalkan, akar-akar suatu persamaan kuadrat adalah x1 dan x2. Jika yang diketahui pada soal adalah jumlah dan hasil kali akar-akarnya, maka untuk mendapatkan persamaan kuadratnya, kamu bisa gunakan rumus berikut ini:
Nah, sebenarnya, bentuk persamaan x2 - (x1 + x2)x + (x1 . x2) = 0 merupakan hasil kali silang dari persamaan (x - x1)(x - x2) = 0, yang kita gunakan untuk mencari persamaan kuadrat di metode sebelumnya. Penjabarannya, bisa kamu lihat pada gambar di bawah ini, nih.
Terus, kenapa sih bisa dapat x1 + x2= -b/a dan x1 . x2 = c/a? Berawal dari persamaan x2 - (x1 + x2)x + (x1 . x2) = 0, kemudian masing-masing ruas dikalikan dengan konstanta a, sehingga persamaan tersebut menjadi sebagai berikut:
ax2 - a(x1 + x2)x + a(x1 . x2) = 0
Setelah itu, disamain deh dengan bentuk umum persamaan kuadrat, sehingga diperoleh:
Dari penjabaran itu lah rumus hasil jumlah dan kali akar-akar persamaan kuadrat berasal. Gimana, sudah paham ya dengan konsep rumusnya? Oke, sekarang, kita perhatikan contoh soal dibawah ini, ya!
Contoh soal 2
Tentukan persaman kuadrat yang akar-akarnya adalah α dan β, serta jumlah dan hasil kali akar-akarnya adalah -1 dan -20.
Penyelesaian:
Diketahui akar-akarnya adalah x1 dan x2. Kemudian, hasil jumlah akar-akarnya adalah -1, berarti x1 + x2 = -1. Lalu, hasil kali akar-akarnya adalah -20, berarti x1 . x2 = - 20. Nah, kamu bisa langsung substitusi hasil jumlah dan kali akar-akar yang sudah diketahui ke persamaan:
x2 - (x1 + x2)x + (x1 . x2) = 0
Sehingga persamaannya menjadi seperti berikut:
x2 - (-1)x + (-20) = 0
x2 + x - 20 = 0
Jadi, diperoleh persamaan kuadratnya adalah x2 + x -20 = 0.
0 Comments